信号与系统

信号与系统的差异度非常大，同一教材不同大学的教学顺序、公式变量与考试重点千差万别。

我看的网课是浙大的胡浩基老师的视频，优点是讲的非常细致，不管什么点全部讲一遍 + 推导一遍，缺点大概是时长太长了（网课有总计 55h）。对于我校的课程考试来说，不是很合适。

捷径与方法

信号系统基础

LTI System

此章节中的微分方程直接求解考试不一定考。

设 h(t) 为系统冲激响应，则任意信号的响应为其与 h(t) 的卷积。

系统稳定：∫−∞+∞∣h(t)∣dt<+∞\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt < +\infty

卷积

与 u(t) 的卷积：通过门函数的选择作用，改变积分的上下限；其本身可不参与卷积。记得卷积结果要把 u(t) 加回去！

卷积的左侧起始是两函数的左侧起始相加。右侧同理。（在面对复杂卷积函数时可能失效）

与 δ(t) 的卷积：等于本身。若为 δ(t - x) 即为平移。

只要卷积函数不含 δ(t)，则卷积结果是不跳变的。（验算）

卷积性质

满足交换律，结合律，总体积分（微分）等于对其中之一积分（微分）

卷积样例

傅里叶变换

离散傅里叶级数

非重点

内积：<f1(t),f2(t)>=∫t1t2f1(t)f2∗(t)dt\displaystyle <f_1(t),f_2(t)>=\int_{t1}^{t2}f_1(t)f_2^*(t)dt （* 是共轭，不影响实函数）

正交：<f1(t),f2(t)>=0

最佳近似：对正交函数集有近似 f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+...,则ci=<f(t),gi(t)><gi(t),gi(t)>\displaystyle f(t)\approx c_1g_1(t)+c_2g_2(t)+..., \text{则} c_i=\frac{<f(t),g_i(t)>}{<g_i(t),g_i(t)>}

从 1,cos(w0x),cos(2w0x),...,sin(w0x),sin(2w0x)... 中任取两个相乘并在 0-T0 上做定积分，结果均为 0。其互为正交基函数。

{B0=1T0∫0T0f(x)dxBk=2T0∫0T0f(x)cos(kω0x)dxCk=2T0∫0T0f(x)sin(kω0x)dx\displaystyle \begin{cases}B_0=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)dx \\ B_k=\frac2{T_0}\int_0^{T_0}f(x)cos(k\omega_0x)dx \\ C_k=\frac2{T_0}\int_0^{T_0}f(x)sin(k\omega_0x)dx\end{cases}

复数形式：x(t)=∑k=−∞∞akejkω0t,ak=1T∫0Tx(t)e−jkω0tdt\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t}, a_k=\frac{1}T\int_0^Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt

周期傅里叶

ak=1TF(jkω0)=1T∫Tx(t)e−jkω0dt\displaystyle a_k=\frac{1}{T}F(jk\omega_0)=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0}dt

周期函数的傅里叶变换：F[x(t)]=2π∑k=−∞∞akδ(ω−kω0)\displaystyle \mathscr{F}[ x(t) ]=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0)

求解过程：

  1. 对单个周期作傅里叶变换
  2. 求 a_k
  3. 写出 x(t)，前面的复数形式
  4. 带入公式

连续傅里叶变换

定义式：跳转复变函数

非重点

狄利赫里条件：

  1. 周期内绝对可积
  2. 最值个数有限
  3. 不连续点有限

常用公式

limn→+∞sin(ωn)ω=πδ(ω),∫−∞+∞sin(ωt)ωdω=πsgn(t)\displaystyle lim_{n\to +\infty}\frac{sin(\omega n)}{\omega}=\pi\delta(\omega),\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(\omega t)}{\omega}d\omega = \pi sgn(t)

∫−∞+∞f(t)dt=F(j0)\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=F(j0)

基本变换

F[e−atu(t)]=1a+jω    (a>0)\displaystyle \mathscr{F}[ e^{-at}u(t) ]=\frac1{a+j\omega}\ \ \ \ (a>0)

F[δ(t)]=1,F[1]=2πδ(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ \delta(t) ]=1,\mathscr{F}[ 1 ]=2\pi\delta(\omega)

F[gτ(t)]=τSa(τ2ω)\displaystyle \mathscr{F}[ g_\tau(t)]=\tau Sa(\frac\tau2\omega) 面积*Sa(端点*ω)

F[sin(ω0t)t]=πg2ω0(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ \frac{sin(\omega_0t) }{t}]=\pi g_{2\omega_0}(\omega)

F[cos(ω0t)]=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]\displaystyle \mathscr{F}[ cos(\omega_0t) ]=\pi[\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)]

F[sin(ω0t)]=πj[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]\displaystyle \mathscr{F}[ sin(\omega_0t) ]=\frac\pi j[\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)]

F[u(t)]=1jω+πδ(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ u(t) ]=\frac1{j\omega}+\pi\delta(\omega)

性质

跳转复变函数

时域卷积 = 频域相乘； 时域相乘 = 频域卷积 / 2π

Parseval's theorem：∫−∞+∞∣x(t)∣2dt=12π∫−∞+∞∣X(jω)∣2dω\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega

任意实函数的傅里叶变换实部偶函数，虚部奇函数。实偶对实偶，实奇对虚奇。

特殊变换 - 双边指数信号：F[e−a∣t∣]=2aa2+ω2\displaystyle \mathscr{F}[ e^{-a|t|} ]=\frac{2a}{a^2+\omega^2}

离散傅里叶（非重点）

本质：离散 -> 连续

离散： F(x[n])=X(ejω)=∑X[n]e−jωn\displaystyle \mathscr{F}(x[n]) = X(e^{j\omega})=\sum X[n]e^{-j\omega n} 是一个 2π 为周期的函数。

X[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndω\displaystyle X[n]=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega

基本变换

F[anu[n]]=11−ae−jω    (∣a∣<1)\displaystyle \mathscr{F}[ a^nu[n] ]=\frac1{1-ae^{-j\omega}}\ \ \ \ (|a|\lt1)

F[δ[n]]=1\displaystyle \mathscr{F}[ \delta[n] ]=1

F[1]=2π∑k=−∞+∞δ(ω−2kπ)\displaystyle \mathscr{F}[ 1 ]=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2k\pi)

F[u[n+N]−u[n−N−1]]=sin((N+1/2)ω)sin(12ω)\displaystyle \mathscr{F}[ u[n+N]-u[n-N-1] ]=\frac{sin((N+1/2)\omega)}{sin(\frac12\omega)}

F[sin(ω0n)πn]=∑g(ω0)\displaystyle \mathscr{F}[ \frac{sin(\omega_0n)}{\pi n} ]=\sum g(\omega_0)（当 ω0 > 2π 时，需要考虑叠加）

F[u[n]]=11−e−jω+π∑k=−∞+∞δ(ω−2kπ)\displaystyle \mathscr{F}[ u[n] ]=\frac1{1-e^{-j\omega}}+\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2k\pi)

cos，sin 在[-π,π]上跟连续一样，其他部分周期重复

性质

重要概念：离散条件下，cosπn=e±jωn=(−1)n\displaystyle cos\pi n=e^{\pm j\omega n}=(-1)^n

基本与连续时的相同：线性性质，时移频移性质，微分，卷积

不同的：

应用

采样定理（非重点）

(Nyquist–Shannon) sampling theorem （证明）：带限连续信号可以由 ωs>2ωm\displaystyle \omega_s>2\omega_m的采样频率的离散信号完美恢复（唯一确定）。

证明中间式：

  1. 对 X(t) 的 T 周期冲激串采样的 Fourier transform：Xp(jω)=1T∑X(j(ω−kωs)),ωs=2π/T\displaystyle X_p(j\omega)=\frac1T\sum X(j(\omega-k\omega_s)), \omega_s=2\pi/T 为采样频率

Nyquist frequency: 2wm

Laplace transform

计算拉式变换必须考虑收敛域

基本变换

L[e−atu(t)]=1/(s+a),   Re(s)>−a\displaystyle \mathscr{L}[ e^{-at}u(t) ]=1/(s+a),\ \ \ Re(s)>-a

（特例）L[u(t)]=1/s,   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ u(t) ]=1/s,\ \ \ Re(s)>0

L[−e−atu(−t)]=1/(s+a),   Re(s)<−a\displaystyle \mathscr{L}[ -e^{-at}u(-t) ]=1/(s+a),\ \ \ Re(s)<-a

L[δ(t)]=1\displaystyle \mathscr{L}[ \delta(t) ]=1

L[cos(ω0t)u(t)]=s/(s2+ω02),   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ cos(\omega_0t)u(t) ]=s/(s^2+\omega_0^2),\ \ \ Re(s)>0

L[sin(ω0t)u(t)]=ω0/(s2+ω02),   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ sin(\omega_0t)u(t) ]=\omega_0/(s^2+\omega_0^2),\ \ \ Re(s)>0

L[tnu(t)]=n!/sn+1,   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ t^nu(t) ]=n!/s^{n+1},\ \ \ Re(s)>0

性质

见 复变函数 - Laplace transform

或 wikipedia

与傅里叶变换的联系：s=jw，可以直接互相代入

收敛域性质

周期拉普拉斯

系统与微分方程

Z-transform

X(z)=∑x[n]z−n=F[x[n]r−n]\displaystyle X(z)=\sum x[n]z^{-n}=\mathscr{F}[ x[n]r^{-n} ]

x[n]=12πj∫ω∈(0,2π]X(z)zn−1dz\displaystyle x[n]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\omega\in(0,2\pi]}X(z)z^{n-1}dz

基本变换

见 wikipedia

anu[n]→1/(1−az−1),∣z∣>∣a∣\displaystyle a^nu[n] \rightarrow 1/(1-az^{-1}),|z|>|a|

−anu[−n−1]→1/(1−az−1),∣z∣<∣a∣\displaystyle -a^nu[-n-1] \rightarrow 1/(1-az^{-1}),|z|<|a|

性质

收敛域性质

系统与差分方程

使用移位性质。

系统框图与 Laplace 框图大致相同。

解差分方程：默认为因果信号，单位样值响应即冲激响应，此时 Y(z) = H(z) （X(z)=1）

定理：系统 z 域函数 H(z)，若 x[n]=an,a\displaystyle x[n]=a^n, a在收敛域内，则 y = H(a)x(n)