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电磁场与电磁波

大约 10 分钟学习物理

电磁场与电磁波

我最早看的网课是这个。不过如评论所说，“这个视频里没有入射折射还有波导相关的章节，知识讲的很细，对速成不友好，对你写题帮助更是不大”。全篇讲证明，没有任何做题，并且是有读 PPT 的嫌疑的。不过物理也就是证明吸引人。

而且，我校的电磁场考得还挺多的，从斜透射到波导，从传输线到偶极子天线，B 站很少有视频能全部讲到。因此我还是自己对照作业 + 书了。

学了一阵子电磁波，发现为了应付考试没有必要去管推导。。那个视频里讲的东西几乎全部没用，笑死。

基础

真空磁导率 μ0=4π×10−7N⋅A−2\mu_0=4\pi\times10^{-7} N·A^{−2}

c=1μ0ε0\displaystyle c=\frac1{\mu_0\varepsilon_0}

拉梅系数：

xyzρϕz\rho\phi zrθϕr\theta\phi
1,1,11,ρ,11,r,rsinθ

叉乘：右手螺旋，三阶矢量算三阶行列式，注意中间的分量是负号。（+-+）

叉乘的模是两向量形成的平行四边形面积，矢量混合积是六面体体积

注意不同坐标系的物理量实际位置。

∂φ∂l∣M=∂φ∂xcos⁡α+∂φ∂ycos⁡β+∂φ∂zcos⁡γ=∇φ⋅l0⃗\displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial l}|_M=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\cos\gamma = \nabla\varphi\cdot\vec{l_0}

∇\nabla 算子运算法则与求导法则一致。∇\nabla 算子在每个坐标的分量是该坐标拉梅系数倒数，根据这个可以简单背下在柱/球坐标系下的散度定义式。

立体角：Ω=∬SdAr2=∬Sr⃗⋅dS⃗∣r⃗∣ r2=∬Sr⃗⋅dS⃗r3\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {dA}{r^{2}}}=\iint _{S}{\frac {{\vec {r}}\cdot {\textrm {d}}{\vec {S}}}{\left|{\vec {r}}\right|\,r^{2}}}=\iint _{S}{\frac {{\vec {r}}\cdot {\textrm {d}}{\vec {S}}}{r^{3}}}，封闭曲面的立体角 =4π= 4\pi（求高斯定理使用）

三个度

标量场梯度：∇r=r0⃗,∇1r=−r0⃗r2\displaystyle\nabla r=\vec{r_0}, \nabla \frac1r=-\frac{\vec{r_0}}{r^2}，可以按求导记忆。

通量：ψ=∫sA⃗⋅dS⃗=∫sA⃗⋅n⃗dS\psi=\int_{s}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\int_{s}\vec{A}\cdot\vec{n}dS，闭合曲面改为 ∮\oint（符号实际上代表二重积分）

散度：单位体积的通量 divA⃗=∇⋅A⃗=limΔV→0∮sA⃗⋅dS⃗ΔV\displaystyle div\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=lim_{\Delta V\to 0}\frac{\oint_s\vec{A}\cdot d\vec{S}}{\Delta V}

散度定理：∫V∇⋅A⃗dV=∮sA⃗⋅dS⃗\int_V\nabla\cdot\vec{A}dV=\oint_s\vec{A}\cdot d\vec{S}

环量： ψ=∮cA⃗⋅dl⃗=∮cAcos⁡θdl\psi=\oint_{c}\vec{A}\cdot d\vec{l}=\oint_{c}A\cos\theta dl，ψ=0\psi=0 对应无旋场。

旋度：矢量，环量面密度最大值 rotA⃗=∇×A⃗=n⃗lim⁡ΔS→0∣∮cA⃗⋅dl⃗∣max⁡ΔSrot\vec{A}=\nabla\times\vec{A}=\vec{n} \lim_{\Delta S\to0}\frac{\left|\oint_c\vec{A}\cdot d\vec{l}\right|_{\max}}{\Delta S}

旋度定理（斯托克斯定理）：∫s∇×A⃗⋅dS⃗=∮cA⃗⋅dl⃗\int_s\nabla\times\vec{A}\cdot d\vec{S}=\oint_c\vec{A}\cdot d\vec{l}

两个恒等式：标量场的梯度的旋度恒等于 0 矢量(∇×(∇φ)=0⃗\nabla\times(\nabla\varphi)=\vec{0})，矢量场的旋度的散度恒等于 0 标量(∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0)。（梯无旋，旋无散）

亥姆霍兹定理：场的分解。F⃗=F1⃗+F2⃗=−∇φ+∇×A⃗\displaystyle\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=-\nabla\varphi+\nabla\times\vec{A}；F1F_1 无旋，F2F_2 无源（无散）

记住：散度转通量是面积分，旋度转环量是线积分。

介质

  • 线性介质：介质参数与场强大小无关
  • 各向同性介质：介质参数与场强方向无关
  • 均匀介质：介质参数与位置无关
  • 色散介质：介质参数与场的频率有关

静电磁场/恒流场

公式大表

场方程大表

电场

大物基础

安培定律：dF⃗=Idl⃗×dB⃗\displaystyle d\vec{F}=Id\vec{l}\times d\vec{B}

毕奥-萨法尔定律：B⃗=μ04π∮c′I′dl⃗′×R⃗R3\displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\oint_{c'}\frac{I'd\vec{l}'\times\vec{R}}{R^{3}}

电流密度（面积微元）：J⃗=lim⁡ΔS→0ΔIΔSn⃗=dIdSn⃗\vec{J}=\operatorname*{lim}_{\Delta S\to0}\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n}=\frac{dI}{dS}\vec{n}，电流是电流密度的通量

高斯定理：∮SE⃗⋅dS⃗=qε0\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac q{\varepsilon_0}

静电场场方程（微分形式）：∇⋅E⃗=ρε0,∇×E⃗=0⃗\displaystyle\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \nabla\times\vec{E}=\vec{0}

电位表达式 φ(r⃗)=14πε0∫Vρ(r⃗′)1∣r⃗−r⃗′∣dV′\displaystyle\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho(\vec{r}^{\prime})\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}dV^{\prime}

磁场

静磁场场方程：∇⋅B⃗=0∇×B⃗=μ0J⃗\begin{aligned}&\nabla\cdot\vec{B}=0\\&\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}\end{aligned}  J 为体电流密度。

一般用的多的是 ∮cB⃗dl⃗=μ0I\oint_c\vec{B}d\vec{l}=\mu_0I

引入一个 A⃗\vec{A} 称为磁矢位，则 B⃗=Δ×A⃗\vec{B}=\Delta\times\vec{A}。

（体）磁矢位方程：A⃗(r⃗)=μ04π∫VJ⃗∣r⃗−r⃗′∣dV′\displaystyle\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{J}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}dV^{\prime}

泊松方程

介质中

极化强度 P = 趋于无穷小体积内的电偶极矩之和

极化电荷密度（体，面）：{ρps(r⃗)=P⃗(r⃗)⋅n⃗ρp(r⃗)=−∇⋅P⃗(r⃗)\left.\left\{\begin{array}{l}\rho_{ps}(\vec{r})=\vec{P}(\vec{r})\cdot\vec{n}\\\\\rho_{p}(\vec{r})=-\nabla\cdot\vec{P}(\vec{r})\end{array}\right.\right.

电位移矢量 D⃗=ε0E⃗+P⃗=εE⃗\vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon\vec{E}

在线性介质中，P⃗=ε0χeE⃗,χe\vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E} ,\chi_e 称为极化率。εr=1+χe,ε=ε0εr\varepsilon_{r}=1+\chi_{e}, \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} 称为介质介电常数。

介质内电场方程：∇⋅D⃗=ρ\displaystyle\nabla\cdot\vec{D}=\rho，即 ∇⋅E⃗=ρε\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}

磁化强度 M⃗\vec{M} 趋于无穷小体积内的磁偶极矩之和

磁化电流密度（体，面）：{J⃗ms=M⃗×n⃗J⃗m=∇×M⃗\begin{cases}\vec{J}_{ms}=\vec{M}\times\vec{n}\\\\\vec{J}_{m}=\nabla\times\vec{M}\end{cases}

磁场强度 H⃗=B⃗μ0−M⃗\displaystyle\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M}

介质内磁场方程：∇⋅H⃗=J⃗\displaystyle\nabla\cdot\vec{H}=\vec{J}

类似的，有 B⃗=μH⃗\vec{B}=\mu\vec{H}，其中 M⃗=χmH⃗,μr=1+χm,μ=μ0μr\vec{M}=\chi_m\vec{H}, \mu_{r}=1+\chi_{m}, \mu=\mu_0\mu_r

线性介质内的方程：∇×B⃗=μJ⃗\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}

能量

能量 W=∫VwdVW=\int_V w dV

电场能量密度 we=12E⃗⋅D⃗=12ε∣E⃗∣2\displaystyle w_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}=\frac{1}{2}\varepsilon|\vec{E}|^2

磁场能量密度 wm=12H⃗⋅B⃗=12μ∣H⃗∣2\displaystyle w_m=\frac{1}{2}\vec{H}\cdot\vec{B}=\frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^2

恒定电流电场功率密度 p=J⃗⋅E⃗p=\vec{J}\cdot\vec{E}

电场力 = F⃗=∇We\vec{F}=\nabla W_e

恒定电流

一般情况：∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\displaystyle\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}

恒定电流时 ∇⋅J⃗=0,∇×E⃗=0⃗\displaystyle\nabla\cdot\vec{J}=0, \nabla\times\vec{E}=\vec{0}

边界条件；n⃗⋅(J⃗1−J⃗2)=0n⃗×(E⃗1−E⃗2)=0⃗\vec{n}\cdot(\vec{J}_{1}-\vec{J}_{2})=0\\\vec{n}\times(\vec{E}_{1}-\vec{E}_{2})=\vec{0}

功率密度：p=J⃗⋅E⃗=σ∣E⃗∣2p=\vec{J}\cdot\vec{E}=\sigma |\vec{E}|^2

J⃗=σE⃗\vec{J}=\sigma\vec{E}

镜像法

  • 双垂直平面镜像：一个电荷镜像出三个，两个 -q，一个 +q
  • 球镜像：−adq-\frac adq

时变电磁场

主要研究方法：研究正弦时变电磁场，并将其他所有分量通过傅里叶变换为正弦形式。

无源：指 J⃗=0⃗,ρ=0\vec{J}=\vec{0}, \rho = 0

位移电流密度：J⃗d=∂D⃗∂t\displaystyle\vec{J}_d=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

位移电流不需要导体；而传导电流只有在导体内才有。

麦克斯韦方程组：∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=J⃗+∂D⃗∂t∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0\begin{aligned}&\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\&\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\\&\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\&\nabla\cdot\vec{B}=0\end{aligned}

根据麦克斯韦方程组，可以推导出时变电磁场的边界条件：

n⃗×(E⃗1−E⃗2)=0⃗n⃗×(H⃗1−H⃗2)=J⃗sn⃗⋅(D⃗1−D⃗2)=ρsn⃗⋅(B⃗1−B⃗2)=0\begin{aligned} &\vec{n}\times(\vec{E}_{1}-\vec{E}_{2})=\vec{0} \\ &\vec{n}\times(\vec{H}_{1}-\vec{H}_{2})=\vec{J}_{s} \\ &\vec{n}\cdot(\vec{D}_{1}-\vec{D}_{2})=\rho_{s} \\ &{\vec{n}}\cdot({\vec{B}}_{1}-{\vec{B}}_{2})=0 \end{aligned}

理想导体表面，有面电荷密度 ρs=en⃗⋅D⃗\rho_s=\vec{e_n}\cdot\vec{D}

能量

时变电磁场的功率流密度（坡印廷矢量）：S⃗=E⃗×H⃗\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}

坡印廷定理：单位时间内，一定体积中电磁场能量减少的速率，等于场力所做的功与单位时间向外的净通量的和。

复数

转换为复振幅，消元 t，微分转乘法。

∂∂t↔jωE⃗(x,y,z,t)=Re[E⃗˙(x,y,z)ejωt]\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t}\leftrightarrow j\omega \\ &\vec{E}(x,y,z,t)=\mathrm{Re}[\dot{\vec{E}}(x,y,z)e^{j\omega t}] \end{aligned}

麦克斯韦方程复数形式：将对 t 偏导以 jωj\omega 代替即可。

平均坡印廷矢量复数：S⃗c=12E⃗×H⃗∗\vec{S}_c=\frac12\vec{E}\times\vec{H}^*

这种复数公式同样适用于 电/磁场能量密度等。

平面波

波的传播方向：e−jβze^{-j\beta z} 代表 z 正向。

波动方程

无源波动方程：{∇2E−με∂2E∂t2=0∇2H−με∂2H∂t2=0\displaystyle\begin{cases}\nabla^2E-\mu\varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0\\\nabla^2H-\mu\varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{H}}{\partial t^2}=0\end{cases}

达朗贝尔方程：{∇2A−με∂2A∂t2=−μJ∇2φ−με∂2φ∂t2=−ρε\displaystyle\begin{cases}{\nabla}^2{A} - \mu{\varepsilon} \frac{\partial^2{A}}{\partial t^2}=- \mu {J}\\{\nabla}^2{\varphi} - \mu{\varepsilon} \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial t^2}=- \frac\rho\varepsilon\end{cases}

亥姆霍兹方程：{∇2E⃗+k2E⃗=0⃗∇2H⃗+k2H⃗=0⃗\displaystyle\begin{cases}\nabla^{2}\vec{E}+k^{2}\vec{E}=\vec{0}\\\nabla^{2}\vec{H}+k^{2}\vec{H}=\vec{0}\end{cases}

波数 k=ωμεk=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}

平均坡印廷矢量：S⃗av=12Re[E⃗×H⃗∗]\vec{S}_{av}=\frac12Re[\vec{E}\times\vec{H}^*]

无源无耗

波阻抗：η=E0H0=με\displaystyle\eta=\frac{E_0}{H_0}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}，真空中为 120π

复数解为 {E⃗(z)=E0mejϕ0e−jkze⃗xH⃗(z)=H0mejϕ0e−jkze⃗y=E0mηejϕ0e−jkze⃗y\begin{cases}\vec{E}(z)=E_{0m}e^{j\phi_0}e^{-jkz}\vec{e}_x\\\vec{H}(z)=H_{0m}e^{j\phi_0}e^{-jkz}\vec{e}_y=\frac{E_{0m}}{\eta}e^{j\phi_0}e^{-jkz}\vec{e}_y\end{cases}

实数解为 {E⃗(z,t)=E0mcos⁡(ωt−kz+ϕ0)e⃗xH⃗(z,t)=H0mcos⁡(ωt−kz+ϕ0)e⃗y\begin{cases}\vec{E}(z,t)=E_{0m}\cos(\omega t-kz+\phi_0)\vec{e}_x\\\vec{H}(z,t)=H_{0m}\cos(\omega t-kz+\phi_0)\vec{e}_y\end{cases}

任一时刻电杨能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量的一半

无源有耗

只需用复介电常数：εc=ε−jσω\varepsilon_c=\varepsilon-j\frac{\sigma}{\omega} 代入所有 ε\varepsilon 即可。

用 γ=jωμεc=α+jβ\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c}=\alpha+j\beta 替换 k，其中 α 称为衰减常数，β 称为相位常数

瞬时解：{E⃗(z,t)=E0me−αzcos⁡(ωt−βz+ϕ0)e⃗xH⃗(z,t)=E0m∣ηc∣e−αzcos⁡(ωt−βz+ϕ0−θ)e⃗y\begin{cases}\vec{E}(z,t)=E_{0m}e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\phi_{0})\vec{e}_{x}\\\vec{H}(z,t)=\frac{E_{0m}}{|\eta_{c}|}e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\phi_{0}-\theta)\vec{e}_{y}\end{cases}, θ\theta 是 ηc\eta_c 的相角

任一时刻电场能量密度和磁场能量密度一般不相等

相速度 vp=ωβv_p=\frac\omega\beta，若相速度与频率有关称为色散介质。

位函数

B⃗=∇×A⃗E⃗=−∇φ−∂A⃗∂t\begin{aligned}&\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\\&\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\end{aligned}

位函数、洛仑兹规范位函数方程的实数复数表示小结

导体

良导体 σωε>>1\displaystyle\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}>>1

弱导电媒质 σωε<<1\displaystyle\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}<<1

趋肤效应：良导体中电磁波衰减快，局限于导体表面附近的区域。趋肤深度 δ≈λ2π\delta\approx\frac\lambda{2\pi}

极化

  • 线极化：ϕ=0,π\phi=0, \pi
  • 圆极化：ϕy−ϕx=±π2\phi_y-\phi_x=\pm\frac\pi 2，振幅相等
    • 右旋：Ex 超前 Ey，ϕy−ϕx<0\phi_y-\phi_x<0
    • 左旋：Ex 落后 Ey，ϕy−ϕx>0\phi_y-\phi_x>0

反射和透射

理想导体没有透射

垂直射理想导体：{E1(z)=exEim(e−jβ1z−ejβ1z)=−exj2Eimsin⁡β1zH1(z)=ey1η1Eim(e−jβ1z+ejβ1z)=ey2η1Eimcosβ1z\begin{cases}E_{1}( z )=e_{x}E_{\mathrm{im}}( \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta_{1}z}-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta_{1}z} )=-e_{x}\mathrm{j}2E_{\mathrm{im}}\sin\beta_{1}z\\H_{1}(z)=e_{y} \frac{1}{\eta_{1}}E_{\mathrm{im}}( \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta_{1}z}+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta_{1}z} )=e_{y} \frac{2}{\eta_{1}}E_{\mathrm{im}}\mathrm{cos}\beta_{1}z\end{cases}

反射系数 Γ=ErmEim=η2−η1η2+η1\displaystyle\Gamma=\frac{E_{_{\mathrm{rm}}}}{E_{_{\mathrm{im}}}}=\frac{\eta_{_2}-\eta_{_1}}{\eta_{_2}+\eta_{_1}}

透射系数 τ=EtmEim=2η2η2+η1\displaystyle\tau=\frac{E_{\mathrm{tm}}}{E_{\mathrm{im}}}=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}

驻波系数（驻波比） S=1+∣Γ∣1−∣Γ∣S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}

Γ\Gamma < 0 时反射波和入射波电场相差相位 π\pi，称为半波损失

三层介质等效阻抗：ηef=η2η3+jη2tan⁡(β2d)η2+jη3tan⁡(β2d)\displaystyle\eta_{\mathrm{ef}}=\eta_2\frac{\eta_3+\mathrm{j}\eta_2\tan(\beta_2d)}{\eta_2+\mathrm{j}\eta_3\tan(\beta_2d)}

全反射临界角 θc=arcsin(n2/n1)\theta_c=arcsin(n_2/n_1)

应用

（矩形）波导

均匀平面波是 TEM 波；TEM 波不能在空心导体波导内传播。

截止波数 kcmn=(mπa)2+(nπb)2k_{\text{c}mn}=\sqrt{\left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2}

截止频率 fcmn=kcmn2πμε\displaystyle f_{\text{c}mn}=\frac{k_{\text{c}mn}}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}}

截止波长 λ cmn=2πk cmn\lambda_{\text{ c}mn}=\frac{2\pi}{k_{\text{ c}mn}}

相位常数 βmn=k2−kcmn2\beta_{mn}=\sqrt{k^2-k_{\mathrm{c}mn}^2}

传播常数 γmn=jβmn\gamma_{mn}=j\beta_{mn}

相速度 vpmn=ωβmnv_{pmn}=\frac\omega{\beta_{mn}}

波导波长 λ gmn=2πβmn\lambda_{\text{ g}mn}=\frac{2\pi}{\beta_{mn}}

波阻抗 ZTE=ωμβ,ZTM=βωεZ_{TE}=\frac{\omega\mu}{\beta}, Z_{TM}=\frac{\beta}{\omega\varepsilon}

TE10 称为主模。主模开槽应在宽边中心，不切断管壁电流，不影响波导内电磁场。

传输线

输入阻抗 Zin(z)=Z0ZL+jZ0tan⁡(βz)Z0+jZLtan⁡(βz)Z_\text{in}(z)=Z_0\frac{Z_\text{L}+\text{j}Z_0\tan(\beta z)}{Z_0+\text{j}Z_\text{L}\tan(\beta z)} （不记）

反射系数 Γ=∣Γ2∣e−j2βzejϕ2\Gamma=|\Gamma_2|\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\beta z}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_2}（无耗），其中 Γ2=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma_2=\frac{Z_\text{L}-Z_0}{Z_\text{L}+Z_0}

Zin(λ4)=Z02ZLZ_\text{in}{\left(\frac\lambda4\right)}=\frac{Z_0^2}{Z_\text{L}}

Zin(λ2)=ZLZ_\text{in}{\left(\frac\lambda2\right)}=Z_\text{L}

λ=2πk\lambda=\frac{2\pi}{k}

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