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信号与系统

大约 9 分钟学习

信号与系统

信号与系统的差异度非常大，同一教材不同大学的教学顺序、公式变量与考试重点千差万别。

我看的网课是浙大的胡浩基老师的视频，优点是讲的非常细致，不管什么点全部讲一遍 + 推导一遍，缺点大概是时长太长了（网课有总计 55h）。对于我校的课程考试来说，不是很合适。

捷径与方法

  • 待定系数法，盖起来算其他：盖一个待定分子，假设分母为 0，令另一个分子为原分子（拆分前），那个分数就是盖起来的分子
  • -∞ 到 t 的积分可以看成卷积 u(t)

信号系统基础

  • 信号
    • 能量信号：积分为有限值
    • 功率信号：积分无限
    • 因果信号：从 0 开始有值的信号
    • 双边信号：(-∞, +∞) 都有值的信号
    • 稳定信号：绝对可积，即绝对值积分有界
  • 系统
    • 线性：齐次 + 可加。积分、微分都是线性运算。
    • 时不变：先延时后变换 = 先变换后延时。f(t) 内的 t 系数只能为 1 且 f(t) 系数需要是常数。
    • 因果：与未来的状态无关

LTI System

此章节中的微分方程直接求解考试不一定考。

设 h(t) 为系统冲激响应，则任意信号的响应为其与 h(t) 的卷积。

系统稳定：∫−∞+∞∣h(t)∣dt<+∞\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt < +\infty

卷积

与 u(t) 的卷积：通过门函数的选择作用，改变积分的上下限；其本身可不参与卷积。记得卷积结果要把 u(t) 加回去！

卷积的左侧起始是两函数的左侧起始相加。右侧同理。（在面对复杂卷积函数时可能失效）

与 δ(t) 的卷积：等于本身。若为 δ(t - x) 即为平移。

只要卷积函数不含 δ(t)，则卷积结果是不跳变的。（验算）

卷积性质

满足交换律，结合律，总体积分（微分）等于对其中之一积分（微分）

卷积样例

  • 等宽方波的卷积是三角波，不等宽方波的卷积是梯形波。
  • 对任意函数做积分相当于与 u(t) 的卷积（重要！）

傅里叶变换

离散傅里叶级数

非重点

内积：<f1(t),f2(t)>=∫t1t2f1(t)f2∗(t)dt\displaystyle <f_1(t),f_2(t)>=\int_{t1}^{t2}f_1(t)f_2^*(t)dt （* 是共轭，不影响实函数）

正交：<f1(t),f2(t)>=0

最佳近似：对正交函数集有近似 f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+...,则ci=<f(t),gi(t)><gi(t),gi(t)>\displaystyle f(t)\approx c_1g_1(t)+c_2g_2(t)+..., \text{则} c_i=\frac{<f(t),g_i(t)>}{<g_i(t),g_i(t)>}

从 1,cos(w0x),cos(2w0x),...,sin(w0x),sin(2w0x)... 中任取两个相乘并在 0-T0 上做定积分，结果均为 0。其互为正交基函数。

{B0=1T0∫0T0f(x)dxBk=2T0∫0T0f(x)cos(kω0x)dxCk=2T0∫0T0f(x)sin(kω0x)dx\displaystyle \begin{cases}B_0=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)dx \\ B_k=\frac2{T_0}\int_0^{T_0}f(x)cos(k\omega_0x)dx \\ C_k=\frac2{T_0}\int_0^{T_0}f(x)sin(k\omega_0x)dx\end{cases}

复数形式：x(t)=∑k=−∞∞akejkω0t,ak=1T∫0Tx(t)e−jkω0tdt\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t}, a_k=\frac{1}T\int_0^Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt

周期傅里叶

ak=1TF(jkω0)=1T∫Tx(t)e−jkω0dt\displaystyle a_k=\frac{1}{T}F(jk\omega_0)=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0}dt

周期函数的傅里叶变换：F[x(t)]=2π∑k=−∞∞akδ(ω−kω0)\displaystyle \mathscr{F}[ x(t) ]=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0)

求解过程：

  1. 对单个周期作傅里叶变换
  2. 求 a_k
  3. 写出 x(t)，前面的复数形式
  4. 带入公式

连续傅里叶变换

定义式：跳转复变函数

非重点

狄利赫里条件：

  1. 周期内绝对可积
  2. 最值个数有限
  3. 不连续点有限

常用公式

limn→+∞sin(ωn)ω=πδ(ω),∫−∞+∞sin(ωt)ωdω=πsgn(t)\displaystyle lim_{n\to +\infty}\frac{sin(\omega n)}{\omega}=\pi\delta(\omega),\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(\omega t)}{\omega}d\omega = \pi sgn(t)

∫−∞+∞f(t)dt=F(j0)\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=F(j0)

基本变换

F[e−atu(t)]=1a+jω    (a>0)\displaystyle \mathscr{F}[ e^{-at}u(t) ]=\frac1{a+j\omega}\ \ \ \ (a>0)

F[δ(t)]=1,F[1]=2πδ(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ \delta(t) ]=1,\mathscr{F}[ 1 ]=2\pi\delta(\omega)

F[gτ(t)]=τSa(τ2ω)\displaystyle \mathscr{F}[ g_\tau(t)]=\tau Sa(\frac\tau2\omega) 面积*Sa(端点*ω)

F[sin(ω0t)t]=πg2ω0(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ \frac{sin(\omega_0t) }{t}]=\pi g_{2\omega_0}(\omega)

F[cos(ω0t)]=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]\displaystyle \mathscr{F}[ cos(\omega_0t) ]=\pi[\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)]

F[sin(ω0t)]=πj[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]\displaystyle \mathscr{F}[ sin(\omega_0t) ]=\frac\pi j[\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)]

F[u(t)]=1jω+πδ(ω)\displaystyle \mathscr{F}[ u(t) ]=\frac1{j\omega}+\pi\delta(\omega)

性质

跳转复变函数

时域卷积 = 频域相乘； 时域相乘 = 频域卷积 / 2π

Parseval's theorem：∫−∞+∞∣x(t)∣2dt=12π∫−∞+∞∣X(jω)∣2dω\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega

任意实函数的傅里叶变换实部偶函数，虚部奇函数。实偶对实偶，实奇对虚奇。

特殊变换 - 双边指数信号：F[e−a∣t∣]=2aa2+ω2\displaystyle \mathscr{F}[ e^{-a|t|} ]=\frac{2a}{a^2+\omega^2}

离散傅里叶（非重点）

本质：离散 -> 连续

离散： F(x[n])=X(ejω)=∑X[n]e−jωn\displaystyle \mathscr{F}(x[n]) = X(e^{j\omega})=\sum X[n]e^{-j\omega n} 是一个 2π 为周期的函数。

X[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndω\displaystyle X[n]=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega

基本变换

F[anu[n]]=11−ae−jω    (∣a∣<1)\displaystyle \mathscr{F}[ a^nu[n] ]=\frac1{1-ae^{-j\omega}}\ \ \ \ (|a|\lt1)

F[δ[n]]=1\displaystyle \mathscr{F}[ \delta[n] ]=1

F[1]=2π∑k=−∞+∞δ(ω−2kπ)\displaystyle \mathscr{F}[ 1 ]=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2k\pi)

F[u[n+N]−u[n−N−1]]=sin((N+1/2)ω)sin(12ω)\displaystyle \mathscr{F}[ u[n+N]-u[n-N-1] ]=\frac{sin((N+1/2)\omega)}{sin(\frac12\omega)}

F[sin(ω0n)πn]=∑g(ω0)\displaystyle \mathscr{F}[ \frac{sin(\omega_0n)}{\pi n} ]=\sum g(\omega_0)（当 ω0 > 2π 时，需要考虑叠加）

F[u[n]]=11−e−jω+π∑k=−∞+∞δ(ω−2kπ)\displaystyle \mathscr{F}[ u[n] ]=\frac1{1-e^{-j\omega}}+\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2k\pi)

cos，sin 在[-π,π]上跟连续一样，其他部分周期重复

性质

重要概念：离散条件下，cosπn=e±jωn=(−1)n\displaystyle cos\pi n=e^{\pm j\omega n}=(-1)^n

基本与连续时的相同：线性性质，时移频移性质，微分，卷积

不同的：

  • 时域扩展：x(k)[n]=X(ejωk),x(k)[n]=x[n/k]\displaystyle x_{(k)}[n]=X(e^{j\omega k}), x_{(k)}[n]=x[n/k] 当且仅当 n%k==0（即离散扩宽）
  • 调制性质：频域相乘 = 时域卷积 / 2π，卷积积分限为周期 2π。卷积的时候可能需要考虑其他周期的卷积重合影响。

应用

  • 带宽 Bf = 脉宽的倒数 = Bw/2π，脉宽是（一个周期内）信号的宽度，Bw 是频域的第一个零点
  • Nyquist frequency = 2 * max frequency
  • 调制：y(t)=∑Xi(t)cos(wcit),Xi(t)\displaystyle y(t)=\sum X_i(t)cos(w_{ci}t), X_i(t) 是 [-w0,w0) 的带限信号
  • 解调：卷积低通滤波器：2sin(wpt)/πt,2w0<wci−wcj,w0<wp<2wc1−w0\displaystyle 2sin(w_pt)/\pi t, 2w_0<w_{ci}-w_{cj}, w_0<w_p<2w_{c1}-w_0
  • 无失真系统幅频特性为水平直线，相频特性为“捺”斜线

采样定理（非重点）

(Nyquist–Shannon) sampling theorem （证明）：带限连续信号可以由 ωs>2ωm\displaystyle \omega_s>2\omega_m的采样频率的离散信号完美恢复（唯一确定）。

证明中间式：

  1. 对 X(t) 的 T 周期冲激串采样的 Fourier transform：Xp(jω)=1T∑X(j(ω−kωs)),ωs=2π/T\displaystyle X_p(j\omega)=\frac1T\sum X(j(\omega-k\omega_s)), \omega_s=2\pi/T 为采样频率

Nyquist frequency: 2wm

Laplace transform

计算拉式变换必须考虑收敛域

基本变换

L[e−atu(t)]=1/(s+a),   Re(s)>−a\displaystyle \mathscr{L}[ e^{-at}u(t) ]=1/(s+a),\ \ \ Re(s)>-a

（特例）L[u(t)]=1/s,   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ u(t) ]=1/s,\ \ \ Re(s)>0

L[−e−atu(−t)]=1/(s+a),   Re(s)<−a\displaystyle \mathscr{L}[ -e^{-at}u(-t) ]=1/(s+a),\ \ \ Re(s)<-a

L[δ(t)]=1\displaystyle \mathscr{L}[ \delta(t) ]=1

L[cos(ω0t)u(t)]=s/(s2+ω02),   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ cos(\omega_0t)u(t) ]=s/(s^2+\omega_0^2),\ \ \ Re(s)>0

L[sin(ω0t)u(t)]=ω0/(s2+ω02),   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ sin(\omega_0t)u(t) ]=\omega_0/(s^2+\omega_0^2),\ \ \ Re(s)>0

L[tnu(t)]=n!/sn+1,   Re(s)>0\displaystyle \mathscr{L}[ t^nu(t) ]=n!/s^{n+1},\ \ \ Re(s)>0

性质

见 复变函数 - Laplace transform

或wikipedia

与傅里叶变换的联系：s=jw，可以直接互相代入

收敛域性质

  • 收敛域为平行于 jw 轴的带状区域
  • 收敛域无极点
  • 绝对可积信号收敛域为全平面
  • 右/左边信号收敛于最右/左边极点的右/左侧
  • 双边信号收敛域为带状
  • 稳定信号收敛域包含 jw 轴

周期拉普拉斯

  • 单边(0, +∞)：L[x(t)]=11−esTX(s)\displaystyle \mathscr{L}[ x(t) ]=\frac{1}{1-e^{sT}}X(s)，收敛域 R 交 Re(s)>0，X(s) 为单周期的变换

系统与微分方程

  • 极点都在左半平面，则系统稳定
  • 求 H(s)
  • 画系统框图（不考）：二阶微分框图：左边从上到下是 1/a2, -a1, -a0；一阶的是 1/a1, -a0；
  • 定理：系统 s 域函数 H(s)，若 x(t)=es0t,s0\displaystyle x(t)=e^{s_0t}, s_0在收敛域内，则 y = H(s)x(t)
  • zero-input response: x(t) = 0 while t > 0; y(0), y'(0) 有值
  • zero-state response: x(t) 有值；y(0) = y'(0) = 0
  • 全通网络的极点在左半平面，零点在对称的右半平面。
  • 最小相移网络的极点在左半平面，零点在左半平面和 jw 轴。(source)
  • 画 s 域电路：电压源 / s, 电容 1/sC + Vc(0-)/s, 电感 Ls - L iL(0-)
  • 根据零极点画幅频相频曲线

Z-transform

X(z)=∑x[n]z−n=F[x[n]r−n]\displaystyle X(z)=\sum x[n]z^{-n}=\mathscr{F}[ x[n]r^{-n} ]

x[n]=12πj∫ω∈(0,2π]X(z)zn−1dz\displaystyle x[n]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\omega\in(0,2\pi]}X(z)z^{n-1}dz

基本变换

见 wikipedia

anu[n]→1/(1−az−1),∣z∣>∣a∣\displaystyle a^nu[n] \rightarrow 1/(1-az^{-1}),|z|>|a|

−anu[−n−1]→1/(1−az−1),∣z∣<∣a∣\displaystyle -a^nu[-n-1] \rightarrow 1/(1-az^{-1}),|z|<|a|

性质

  • 线性
  • 移位性质：x[n−n0]→X(z)z−n0\displaystyle x[n-n_0] \rightarrow X(z)z^{-n_0}，收敛域可能变（在 0, ∞ 点）

  • 单边移位公式

  • z 域微分性质：nx[n]→−zX′(z)\displaystyle nx[n] \rightarrow -zX'(z)，收敛域不变
  • 序列指数加权：anx[n]→X(z/a)\displaystyle a^nx[n] \rightarrow X(z/a)，收敛域扩大 a 倍
  • 时域扩展：x(k)[n]→X(zk)\displaystyle x_{(k)}[n] \rightarrow X(z^k)，收敛域 R1/kR^{1/k}
  • 卷积性质，收敛域可能零极点抵消
  • 累加性质：等于与 u[n] 卷积
  • 补充：时间反转：x(−n)→X(1/z)\displaystyle x(-n)\rightarrow X(1/z)，收敛域 1/Rx1/R_x
  • 与离散 fourier 的联系：z=ejwz = e^{jw}
  • 因果信号
    • 初值定理：x[0]→X(+∞)\displaystyle x[0] \rightarrow X(+\infty)
    • 终值定理：x[+∞]→limz→1(z−1)X(z)\displaystyle x[+\infty] \rightarrow lim_{z\to 1}(z-1)X(z)

收敛域性质

  • 有限长序列，收敛域全平面
  • 右/左/双边序列，收敛域圆外/内/环，不包括 0 & ∞
  • 稳定序列：收敛域包含单位圆（充要）
  • 相当于 Laplace 变换 jw 轴向负半轴折成单位圆

系统与差分方程

使用移位性质。

系统框图与 Laplace 框图大致相同。

解差分方程：默认为因果信号，单位样值响应即冲激响应，此时 Y(z) = H(z) （X(z)=1）

定理：系统 z 域函数 H(z)，若 x[n]=an,a\displaystyle x[n]=a^n, a在收敛域内，则 y = H(a)x(n)

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